Matrius: problemes de Matemàtiques CC.SS. de la Selectivitat
33 problemes dels exàmens oficials de les PAU de Catalunya (2015-2025) classificats en aquest tema. A continuació hi ha el començament de cada enunciat; l'enunciat complet, les imatges i la solució pas a pas són a la web.
Practica aquest tema amb les solucionsExamen de model 2025, Problema 4
Exercici 4, Opció A Exercici 4 Una pagesa contracta una empresa de conductors perquè li portin els tractors fins als pobles on han de treballar. Suposem que els conductors fan tot el trajecte a una velocitat constant. Trieu una opció (opció A o opció B) i responeu les preguntes de l'opció triada: OPCIÓ A a) Suposem…
Juny 2025, Sèrie 1, Problema 5
Exercici 4, Opció B (apartat a) Exercici 4 Al Congrés Català d'Educació Matemàtica (C2EM), que se celebrarà a Lleida el proper mes de juliol, hi assistiran docents d'universitat, d'educació secundària i d'educació infantil i primària. A hores d'ara, un 10 % dels docents inscrits són d'universitat, un 50 % són de…
Setembre 2025, Sèrie 3, Problema 5
Exercici 4, Opció A, apartat a Exercici 4 Una empresa fabrica cotxes elèctrics i cotxes de motor de combustió. L'empresa té tres línies de fabricació: L1, L2 i L3. La taula següent mostra el nombre de vehicles de cada tipus que hi ha en aquest moment en cada línia. D'altra banda, sabem que el preu de venda dels…
Juny 2025, Sèrie 4, Problema 4
Exercici 4 (Opció A, apartat a) Exercici 4 Una fàbrica es dedica a elaborar pasta. Tot el procés de producció es pot resumir en tres etapes: 1. Compra de matèries primeres. Per a elaborar la pasta, l'empresa ha de comprar oli, farina i sal de bona qualitat. La compra la pot fer a tres proveïdors diferents. El primer…
Juny 2024, Sèrie 1, Problema 4
4. Diem que una matriu és màgica si la suma dels elements de cada fila i de cada columna té com a resultat en tots els casos el mateix valor, que s'anomena constant màgica. El Martí ha trobat una manera de crear matrius màgiques triant tres nombres qualssevol i multiplicant-los per les matrius següents: A =…
Setembre 2024, Sèrie 3, Problema 4
4. Un cinema disposa de dues sales en les quals es projecten dues pel·lícules diferents. La taula següent mostra el nombre de persones que han assistit a la projecció de cada pel·lícula la darrera setmana, agrupades per franges d'edat: | Franja d'edat | Pellícula de la sala 1 | Pellícula de la sala 2 | | :--- | :---…
Juny 2024, Sèrie 5, Problema 4
4. La Laia, una aficionada a l'artesania feta amb fusta, va muntar un petit negoci fa un parell de mesos. Al seu taller, elabora tres tipus de productes amb fusta reciclada, que després posa a la venda: noms personalitzats, paraules decoratives i baldufes. Durant el primer mes, la Laia va tenir tres clients: el…
Juny 2023, Sèrie 1, Problema 2
2. Un centre cívic ofereix cursos de francès de nivell principiant, intermedi i avançat. Els alumnes inscrits, si ho desitgen, tenen garantida una plaça per al curs següent. És per això que, abans d'acabar el curs, es fan les reserves de plaça per al curs vinent. De l'alumnat de nivell principiant, un 15 % vol…
Setembre 2023, Sèrie 2, Problema 5
5. Considereu la matriu A = \begin{pmatrix} 1 & a \\ 2 & -1 \end{pmatrix}, en què a és un paràmetre real. a) Si anomenem I la matriu identitat d'ordre 2, trobeu el valor de a per al qual A^2 = I. [1 punt] b) Per a a = -1, calculeu A^2, A^3 i A^4. Feu servir els càlculs anteriors per a deduir el valor de A^{-1} i de…
Juny 2023, Sèrie 5, Problema 5
5. Considereu les matrius A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix} i B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, en què a i b són dos paràmetres reals. a) Trobeu els valors dels paràmetres a i b per als quals es compleix que A^2 - 2A = B. [1,25 punts] b) Si a = 1 i b = 1, resoleu l'equació matricial 2A…
Juny 2022, Sèrie 2, Problema 5
5. Considereu les matrius P = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \\ a & 2 & 3 \end{pmatrix} i A = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}, en què a és un paràmetre real. a) Trobeu per a quins valors de a és invertible la matriu obtinguda del resultat del producte P \cdot A. [1,5 punts] b) Si a = 2, trobeu la…
Setembre 2022, Sèrie 3, Problema 5
5. Considereu les matrius A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} i B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}, en què a és un paràmetre real. a) Calculeu per a quin valor de a les dues matrius commuten, és a dir, per a quin valor de a es compleix que A \cdot B = B \cdot A. Comproveu que per aquest…
Juny 2022, Sèrie 5, Problema 3
3. Calculeu la matriu X que verifica A \cdot X \cdot B = C, sabent que X = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}, A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -3 \end{pmatrix} i C = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -3 & -8 \end{pmatrix}. [2,5 punts]
Setembre 2021, Sèrie 1, Problema 1
1. La taula següent mostra els ingressos, en milers d'euros, d'una botiga que disposa de tres locals, durant els mesos de gener, febrer i març de 2020. | | Gener | Febrer | Març | | --- | --- | --- | --- | | Local 1 | 13,5 | 13,2 | 4,2 | | Local 2 | 11 | 12,5 | 3,8 | | Local 3 | 15 | 14 | 2,7 | Hem recollit la…
Juny 2021, Sèrie 2, Problema 5
5. Considereu la matriu A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. a) Trobeu l'expressió general de A^n. Demostreu que la inversa de A^n és \begin{pmatrix} 1 & -n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. [1,25 punts] b) Trobeu la matriu X que satisfà l'equació matricial A^{10} \cdot X - A^{20} = A. [1,25 punts]
Juny 2021, Sèrie 5, Problema 6
6. Considereu la matriu A = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 1 & a \end{pmatrix}, en què a és un nombre real. a) Calculeu A^2, A^3 i A^4. [1,25 punts] b) Deduïu quant valdrà la matriu A^{100}. [1,25 punts]
Juny 2020, Sèrie 1, Problema 5
5. Considereu les matrius A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} i B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. a) Comproveu que es compleix que A^{-1} = A^2. [1,25 punts] b) Resoleu l'equació matricial A \cdot X + B = I, en què I és la matriu identitat d'ordre 2. [1,25 punts]
Juny 2020, Sèrie 3, Problema 1
1. La taula següent reflecteix el preu unitari, expressat en euros, de tres productes P_1, P_2 i P_3, subministrats a un restaurant per dues empreses diferents E_1 i E_2: | | E_1 | E_2 | |---|---|---| | P_1 | 6 | 5 | | P_2 | 5 | 8 | | P_3 | 9 | 7 | El restaurant haurà de fer dues comandes: una aquesta setmana i una…
Setembre 2020, Sèrie 4, Problema 1
1. Considerem la matriu A = \begin{pmatrix} x & -2 \\ 5 & -x \end{pmatrix}. Estudieu per a quins valors de x la matriu inversa de la matriu A coincideix amb la seva oposada, és a dir, A^{-1} = -A. [2,5 punts]
Juny 2019, Sèrie 1, Problema 2
2. Resoleu les qüestions següents: a) Considereu la matriu M = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}. Calculeu els valors de a i b per tal que es verifiqui la igualtat M^2 + a \cdot M + b \cdot I = 0, en què I és la matriu identitat I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} i 0 = \begin{pmatrix} 0 & 0…
Juny 2019, Sèrie 4, Problema 6
6. En una oficina tenen tres proveïdors que els subministren el material. La matriu P ens dona els preus unitaris, en euros, de cada un dels articles A1, A2 i A3, segons els proveïdors p1, p2 i p3. P = \begin{pmatrix} 5 & 4 & 4 \\ 11 & 12 & 13 \\ 13 & 13 & 12 \end{pmatrix} Representem una comanda de x unitats de A1,…
Setembre 2019, Sèrie 5, Problema 1
1. Volem enviar una data codificada. Per a fer-ho, considerem el vector de tres components X = (d \ m \ a), en el qual d expressa el dia, m el mes i a l'any. Tot seguit, fem l'operació X \cdot A + B, en què A i B són les matrius A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \text{ i } B = (5…
Juny 2018, Sèrie 1, Problema 1 (Opció A)
2 1. Considereu les matrius M de la forma M =| -a a) Determineu a de manera que M² [1 punt] = -1 b) Determineu a de manera que M¹ = 3 -2a 0 -1 2a -1 a 0 12) en què a és un nombre real. en què M¹ representa la matriu inversa de M. És a dir, M. M-¹ = I, en què I és la matriu identitat d'ordre 2. [1 punt]
Setembre 2018, Sèrie 3, Problema 5 (Opció A)
5. Resoleu les preguntes següents: a) Trobeu les matrius A i B que compleixen que. A-2B= [1 punt] b) Determineu el valor de a, b, ci d perquè es verifiqui que [1 punt] 1 13 0-5 1 2 a (²2) 7 4 i 2A + 3B= 0 с b ) (2 (24)-( 1 ) 1
Juny 2018, Sèrie 5, Problema 5 (Opció B)
5. Un fabricant d'automòbils produeix els models Record i Astrid. Desa la producció en tres naus. A la primera nau té 150 vehicles del model Record i 120 vehicles del model Astrid. A la segona guarda 80 Record i 140 Astrid. Finalment, a la tercera nau emmagatzema 250 Record i 125 Astrid. A més, el preu dels…
Juny 2017, Sèrie 1, Problema 3 (Opció A)
5 1 5 1 0 -1 3. Considereu les matrius A = n dos nombres reals. a) Comproveu que es compleix la igualtat (A B). (A + B) = A² B². B= iC ic-( 1 m , en què min són [1 punt] b) Determineu m in de manera que les matrius B i C commutin, és a dir, B. C = C.B. [1 punt]
Setembre 2017, Sèrie 2, Problema 5 (Opció A)
5. Considereu la matriu A = 2 -1 7 -3 a) Comproveu que A³ I = 0, en què I és la matriu identitat d'ordre 2. [1 punt] b) Calculeu A¹ utilitzant la informació de l'apartat a. [1 punt]
Juny 2017, Sèrie 5, Problema 6 (Opció A)
6. Considereu les matrius A = a 0 1 2 i B= 1) 2 -1 0 a) Calculeu el valor del paràmetre a per al qual es compleix que A · B = B · A. [1 punt] b) Per al valor a = 2, trobeu una matriu X tal que A.X.A=B. [1 punt]
Setembre 2016, Sèrie 1, Problema 4 (Opció A)
4. a) La matriu ampliada d'un sistema de tres equacions amb tres incògnites és 0 0 1 1 0 -1 1 0 5 2 -2 0 Justifiqueu, sense resoldre'l, si el sistema és incompatible, compatible indeterminat o determinat. [1 punt] b) Considereu ara la matriu d'un altre sistema de tres equacions amb tres incògnites: 2 1 3 1 0 H 2 1 1…
Juny 2016, Sèrie 5, Problema 6 (Opció A)
6. Considereu les matrius A = 1 -1 2 -1 3 1 i B= 2 -1 3 1 -1 2 a) Calculeu les matrius A. B i B.A. [1,5 punts] b) Justifiqueu si en algun cas és possible calcular P² quan P és una matriu no quadrada. [0,5 punts]
Juny 2015, Sèrie 2, Problema 4 (Opció A)
1 2 4. Siguin les matrius A = a -a a) Calculeu les matrius A + Bi A.B. [1 punt] b) Determineu els valors de a, b ic que compleixen que A + B = A.B. [1 punt] )iB-(¦ ;) B= 1
Juny 2015, Sèrie 4, Problema 4 (Opció A)
4. Donades les matrius A = = X. A + B²=2. I₂, on 1₂ [2 punts] 1 0 1 0 -1 2 0 1 i B = -3 2 0 1 calculeu la matriu X que compleix és la matriu identitat d'ordre 2.
Setembre 2015, Sèrie 5, Problema 5 (Opció A)
5. Trobeu les matrius A i B sabent que A-2B= [2 punts] 0 -3 -3 7 ³) i que 2A + 3B-( 15 ) = 4